December 28th, 2020

Chieftain

Краткое введение в теорию констрикций

Федор показывает Максиму конспект:

«Класс Y называется шизоидом, если его элементы — только хазоиды (состоит из хазоидов) и не есть Ø.

Шизоид W называется особым шизоидом, если среди его элементов есть особые хазоиды, и неособым в противном случае.

Класс называется антишизоидом, если среди его элементов нет хазоидов.

Лемма (Венявского)

1. Существует антишизоид, являющийся хазоидом (Ø).

2. Существует антихазоид, являющийся шизоидом (равносильно тому, что среди хазоидов есть два различных элемента. Но они есть: Ø и неособый хазоид).

Итак, утверждение о том, что существуют два различных неособых хазоида можно сформулировать так:

Существует антихазоид, являющийся неособым шизоидом.

В самом деле, если бы такого антихазоида не было, то каждый шизоид (неособый) был бы хазоидом, а, следовательно, состоял бы из одного элемента, следовательно, существовал бы один и только один неособый хазоид.

С другой стороны, существование такого антихазоида влечёт существование неособого шизоида, не являющегося неособым или особым хазоидом, а, следовательно, имеющего более одного элемента; следовательно, среди неособых хазоидов есть различные.

Далее, существование двух различных неособых хазоидов, очевидно, влечёт за собой существование антихазоида, так, например, если X и Y два различных неособых хазоида, то Z={X,Y}, будучи неособым шизоидом, не будет являться хазоидом, т. к. среди его элементов есть по крайней мере один, отличный от Z».
Chieftain

Приведённый шизоид

Максим переворачивает страницу:

«§5 Приведённый шизоид

Шизоид называется приведённым, если все его элементы — шизоиды.

Теорема о повороте

Все элементы приведённого шизоида — неособые шизоиды.

Доказательство:

Пусть элемент X приведённого шизоида W — не есть неособый шизоид. Так как все элементы W — шизоиды, то X — особый шизоид. С другой стороны, W — шизоид, а, следовательно, X — хазоид. Но шизоид, среди элементов которого есть особые хазоиды, не может быть хазоидом, так как если X≠Ø, то среди его элементов есть отличный от него (а именно Ø); если же X=Ø, то по Лемме Венявского X — антишизоид, а X∈W. Итак, если X≠Ø, то X — антихазоид, а X=Ø ⇒ X — антишизоид. Получаем противоречие».